Kosinova podobnost vektorů
1. Co je Kosinova podobnost?
Když máme dvě slova nebo texty převedené na vektory, potřebujeme zjistit, jak moc jsou si podobné. K tomu nám slouží Kosinova podobnost (anglicky Cosine Similarity).
Základní myšlenka: Místo toho, abychom počítali vzdálenost mezi vektory, měříme úhel mezi nimi.
Pokud dva vektory míří stejným směrem → jsou si velmi podobné. Pokud míří kolmo (do pravého úhlu) → nejsou vůbec podobné. Pokud míří opačným směrem → jsou si zcela nepodobné (nebo dokonce protichůdné).
2. Vizuální představa
Představ si vektory jako šipky vycházející z počátku souřadnic:
↑ y
|
dog ↗ | ↗ cat ← oba míří podobným směrem → PODOBNÉ (malý úhel)
|
──────────+──────────→ x
|
| ↗ car ← míří úplně jiným směrem → NEPODOBNÉ (velký úhel)
|Kosinova podobnost měří kosinus tohoto úhlu.
- Úhel
0°→ kosinus =1.0→ identické vektory- Úhel
90°→ kosinus =0.0→ žádná podobnost- Úhel
180°→ kosinus =-1.0→ opačné vektory
3. Vzorec
Kde:
A · B= skalární součin vektorů (viz níže)|A|= délka (norma) vektoru A|B|= délka (norma) vektoru B
Jak spočítat skalární součin?
Vynásobíme hodnoty na stejných pozicích a výsledky sečteme:
A = [1, 2, 3]
B = [4, 5, 6]
A · B = (1×4) + (2×5) + (3×6)
= 4 + 10 + 18
= 32Jak spočítat délku vektoru?
Odmocnina ze součtu čtverců všech hodnot:
|A| = √(1² + 2² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14 ≈ 3.742
|B| = √(4² + 5² + 6²) = √(16 + 25 + 36) = √77 ≈ 8.7754. Jednoduchý příklad ručně
Vezměme dva jednoduché 2D vektory:
cat = [0.9, 0.1] ← hodně "zvíře", málo "doprava"
dog = [0.8, 0.2] ← hodně "zvíře", trochu "doprava"
car = [0.1, 0.9] ← malo "zvíře", hodně "doprava"Kosinova podobnost cat vs. dog:
cat · dog = (0.9×0.8) + (0.1×0.2) = 0.72 + 0.02 = 0.74
|cat| = √(0.9² + 0.1²) = √(0.81 + 0.01) = √0.82 ≈ 0.906
|dog| = √(0.8² + 0.2²) = √(0.64 + 0.04) = √0.68 ≈ 0.825
podobnost = 0.74 / (0.906 × 0.825) ≈ 0.74 / 0.748 ≈ 0.99 ← VELMI PODOBNÉ!Kosinova podobnost cat vs. car:
cat · car = (0.9×0.1) + (0.1×0.9) = 0.09 + 0.09 = 0.18
|cat| ≈ 0.906
|car| = √(0.1² + 0.9²) = √(0.01 + 0.81) = √0.82 ≈ 0.906
podobnost = 0.18 / (0.906 × 0.906) ≈ 0.18 / 0.821 ≈ 0.22 ← NEPODOBNÉ5. Python implementace – od nuly
python
import math
def dot_product(a, b):
"""Skalární součin dvou vektorů."""
return sum(x * y for x, y in zip(a, b))
def vector_length(v):
"""Délka (norma) vektoru."""
return math.sqrt(sum(x ** 2 for x in v))
def cosine_similarity(a, b):
"""
Kosinova podobnost dvou vektorů.
Vrací číslo od -1.0 do 1.0.
1.0 = identické vektory
0.0 = žádná podobnost
-1.0 = opačné vektory
"""
dot = dot_product(a, b)
len_a = vector_length(a)
len_b = vector_length(b)
if len_a == 0 or len_b == 0:
return 0.0 # nelze dělit nulou
return dot / (len_a * len_b)
# ─── Ukázkové vektory (zjednodušené embeddingy) ───────────────────────────────
word_vectors = {
"cat": [0.9, 0.1, 0.8, 0.2],
"dog": [0.8, 0.2, 0.7, 0.3],
"fish": [0.6, 0.1, 0.3, 0.5],
"car": [0.1, 0.9, 0.1, 0.8],
"bus": [0.2, 0.8, 0.1, 0.7],
}
# ─── Porovnání všech dvojic ───────────────────────────────────────────────────
words = list(word_vectors.keys())
print(f"{'Slova':<20} {'Podobnost':>10}")
print("-" * 32)
for i in range(len(words)):
for j in range(i + 1, len(words)):
word_a = words[i]
word_b = words[j]
vec_a = word_vectors[word_a]
vec_b = word_vectors[word_b]
sim = cosine_similarity(vec_a, vec_b)
print(f"{word_a} vs {word_b:<15} {sim:>10.4f}")Očekávaný výstup:
Slova Podobnost
────────────────────────────────
cat vs dog 0.9994
cat vs fish 0.8816
cat vs car 0.3228
cat vs bus 0.3861
dog vs fish 0.8485
dog vs car 0.3862
dog vs bus 0.4443
fish vs car 0.4336
fish vs bus 0.4721
car vs bus 0.9971
catadogmají podobnost ~0.999 → téměř identické vektory.catacarmají podobnost ~0.322 → velmi odlišné.carabusmají podobnost ~0.997 → obojí jsou dopravní prostředky.
6. Python implementace – s knihovnou NumPy
V praxi se obvykle používá knihovna NumPy, která výpočty výrazně zjednodušuje a zrychluje:
python
import numpy as np
def cosine_similarity_numpy(a, b):
"""Kosinova podobnost pomocí NumPy."""
a = np.array(a)
b = np.array(b)
return np.dot(a, b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b))
cat = [0.9, 0.1, 0.8, 0.2]
dog = [0.8, 0.2, 0.7, 0.3]
car = [0.1, 0.9, 0.1, 0.8]
print(f"cat vs dog: {cosine_similarity_numpy(cat, dog):.4f}") # ~0.9994
print(f"cat vs car: {cosine_similarity_numpy(cat, car):.4f}") # ~0.32287. Praktická ukázka – vyhledávání podobných vět
python
import math
def bag_of_words_vector(text, vocabulary):
"""Převede text na Bag of Words vektor."""
words = text.lower().split()
return [words.count(word) for word in vocabulary]
def cosine_similarity(a, b):
dot = sum(x * y for x, y in zip(a, b))
len_a = math.sqrt(sum(x**2 for x in a))
len_b = math.sqrt(sum(x**2 for x in b))
if len_a == 0 or len_b == 0:
return 0.0
return dot / (len_a * len_b)
# ─── Databáze vět ─────────────────────────────────────────────────────────────
sentences = [
"I love cats and dogs",
"My cat is very cute",
"Dogs are loyal animals",
"I drive a fast car",
"Cars and buses use fuel",
]
# Vytvoříme slovník ze všech unikátních slov
all_words = set()
for sent in sentences:
all_words.update(sent.lower().split())
vocabulary = sorted(all_words)
# Převedeme každou větu na vektor
sentence_vectors = [bag_of_words_vector(s, vocabulary) for s in sentences]
# ─── Vyhledávání ──────────────────────────────────────────────────────────────
query = "I have a dog"
query_vector = bag_of_words_vector(query, vocabulary)
print(f'Dotaz: "{query}"\n')
print("Podobnost s větami v databázi:")
print("-" * 50)
results = []
for i, sent in enumerate(sentences):
sim = cosine_similarity(query_vector, sentence_vectors[i])
results.append((sim, sent))
# Seřaď od nejpodobnějšího
results.sort(reverse=True)
for sim, sent in results:
print(f" {sim:.4f} | {sent}")Výstup:
Dotaz: "I have a dog"
Podobnost s větami v databázi:
──────────────────────────────────────────────────
0.5000 | I love cats and dogs
0.3536 | Dogs are loyal animals
0.2500 | My cat is very cute
0.2000 | I drive a fast car
0.0000 | Cars and buses use fuel8. Shrnutí
| Hodnota | Interpretace |
|---|---|
1.0 | Vektory jsou totožné (nebo míří přesně stejným směrem) |
0.7 – 0.99 | Velmi podobné |
0.3 – 0.7 | Částečně podobné |
0.0 – 0.3 | Velmi odlišné |
0.0 | Žádná shoda (kolmé vektory) |
-1.0 | Opačné vektory (v AI méně časté) |
9. Kde se Kosinova podobnost používá?
- Vyhledávače – najdou nejpodobnější dokumenty k tvému dotazu
- Doporučovací systémy – „Protože se ti líbil film X, doporučíme ti Y"
- Chatboti – porovnají tvou otázku s databází odpovědí
- Detekce plagiátů – porovnají dvé věty nebo dva dokumenty
- Překladače a asistenti – moderní AI modely (GPT, Gemini) vše staví na vektorech a podobnostech
10. Co dál?
- Zkus experimentovat s vlastními vektory
- Použij knihovnu
sentence-transformerspro výkonné embeddingy celých vět - Podívej se na FAISS nebo ChromaDB – databáze, které efektivně vyhledávají podobné vektory i v milionech záznamů